Diplômé de l'Institut cinématographique de Belgrade, Spremo immigre au Canada en 1957 et s'installe à Toronto. En 1962, il se joint à l'équipe du Globe and Mail qu'il quitte en 1966 pour aller travailler au Toronto Star, où il demeure jusque dans les années 90. Au cours de sa longue carrière, Spremo couvre des événements dramatiques comme la crise du FLQ, à Québec, et la fin de la guerre du Vietnam dans les années 70, la sécheresse et la famine en Afrique dans les années 80 et la situation des réfugiés kurdes en 1991. Il est aussi célèbre pour ses portraits et images de Toronto.
Les photographies de Spremo ont été publiées dans des volumes dédiés à son oeuvre, notamment Boris Spremo : Twenty Years of Photojournalism (1985) et Shadows of War/Faces of Peace (1992), ainsi que dans des magazines aussi populaires que le Maclean's, Life, Time et Sports Illustrated. Spremo reçoit de nombreux prix nationaux et internationaux pour son photojournalisme. En 1966 il devient le premier Canadien à remporter le premier prix à la World Press Photo Competition, tenue à La Haye, aux Pays-Bas. En 1997, il s'est mérité l'Ordre du Canada.