Mathématiques

Mathématiques

Les mathématiques sont la SCIENCE des nombres et des relations spatiales. Il est d'usage de distinguer les mathématiques pures des mathématiques appliquées. Les mathématiques pures se divisent, en gros, en trois grandes disciplines : la géométrie et la topologie, l'algèbre et l'arithmétique, et enfin l'analyse. Une quatrième branche vient les compléter, la logique. Elle traite des ensembles, des objets mathématiques fondamentaux, de leurs axiomes et de leurs règles d'inférence.

Géométrie

La géométrie étudie les figures, particulièrement leurs propriétés immuables. En tant que discipline déductive, elle fait son apparition en Grèce, comme d'ailleurs les mathématiques elles-mêmes. Les premières figures étudiées sont, entre autres, la droite, le triangle, le cercle, la sphère et le cube. Comme exemple de théorème, c'est-à-dire de proposition démontrable obtenue par déduction, on peut citer le cas du triangle rectangle, qui se caractérise par la relation pythagoricienne (le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés).

La théorie des coniques (ellipse, hyperbole, parabole) se développe d'abord (600 av. J.-C. à 100 apr. J.-C.), ainsi que la trigonométrie, importante en ASTRONOMIE. On découvre aussi durant cette période les formules pour calculer l'aire et le volume de figures particulières. Les principaux progrès ultérieurs sont l'apparition de la géométrie analytique (Descartes) et de la théorie de la courbure totale (Gauss), qui est la notion centrale de la géométrie différentielle. Par comparaison, la découverte de la géométrie non euclidienne est secondaire.

En géométrie analytique, les points d'un plan sont déterminés par deux coordonnées, la distance qui les sépare de ces deux axes, et les figures familières deviennent le lieu géométrique des points qui résolvent une équation algébrique. La géométrie s'intègre ainsi à l'algèbre et peut désormais étudier des espaces de dimensions arbitraires, importants en mécanique. Dans sa forme la plus simple, la courbure est un nombre attaché en un point d'une surface. Plus la surface est plate, plus ce nombre (positif pour une sphère, négatif pour une surface en dos d'âne) est petit.

Topologie

La topologie étudie les propriétés invariantes des figures ou des espaces, c'est-à-dire celles qui se conservent malgré les déformations. Particulièrement utile pour les grandes dimensions, elle étudie les espaces en y attachant des invariants algébriques et numériques. Par exemple, des surfaces orientées fermées sont caractérisées par leur genre (g). Pour la surface d'une balle, g = 0; le genre d'un tore est égal à 1 et celui d'un bretzel égal à 2. La classification des espaces tridimensionnels, d'un intérêt beaucoup plus actuel, est encore incomplète. La formule de Gauss-Bonnet établit un rapport caractéristique entre la topologie et la géométrie : l'intégrale d'une courbe tracée sur une surface fermée est égale à 4p (1-g).

Algèbre

L'algèbre étudie les propriétés générales des solutions d'une ou de plusieurs équations. L'arithmétique, ou théorie des nombres, est l'étude des solutions dans certains domaines du nombre, par exemple les solutions de xⁿ + yⁿ = zⁿ dans les nombres entiers, comme dans la conjecture de Fermat. L'algèbre linéaire, la théorie hautement développée des équations du premier degré, joue un rôle important dans l'ensemble des mathématiques. La notion de valeur propre et de vecteur propre, qui apparaissent géométriquement comme les axes principaux d'un ellipsoïde, est cruciale. Le concept du groupe, ensemble d'éléments multipliables, telles les opérations sur un cube de Rubik, est omniprésent en algèbre. La théorie des groupes finis a fortement progressé ces dernières années.

Analyse

L'analyse commence avec le calcul différentiel et intégral, le calcul des vitesses et des tangentes (dérivées), des longueurs, des aires balayées et des distances parcourues (intégrales), et des maximums et des minimums. La notion centrale est celle d'une fonction qui exprime la façon dont une variable dépend d'une autre. On ne peut calculer explicitement l'intégrale d'un très petit nombre de fonctions. Les problèmes qui accompagnent les fonctions algébriques ont grandement influencé le développement de la géométrie et de l'arithmétique.

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. Des équations différentielles se posent dans toutes les branches de la science. L'équation est ordinaire s'il n'y a qu'une variable indépendante et deux des problèmes fondamentaux sont la stabilité et l'existence de solutions périodiques. Nos connaissances sur le sujet sont vastes, mais les données empiriques, trouvées par ordinateur, dépassent de loin notre compréhension théorique.

L'équation différentielle est dite aux dérivées partielles s'il y a plusieurs variables indépendantes. Les équations différentielles aux dérivées partielles apparaissent dans l'étude de la propagation des ondes et de la matière. En dépit d'une énorme théorie, certains phénomènes fondamentaux, tels que la turbulence, échappent encore à notre compréhension; on leur applique souvent des idées venant de la théorie des probabilités, qui constitue une discipline en soi. Les dérivées et les intégrales exigent l'usage de limites, comme le développement des fonctions dans les séries infinies, telle qu'une série de puissances ou une série de Fourier. Celle-ci exprime une fonction sous la forme d'une somme infinie de sinus et de cosinus, et est indispensable dans l'étude d'équations différentielles aux dérivées partielles.

ROBERT P. LANGLANDS

Mathématiques appliquées

On entend par mathématiques appliquées les mathématiques dont on fait usage pour résoudre les problèmes concrets. Elles peuvent recourir à toutes les techniques des mathématiques « pures », mais elles s'en distinguent par l'origine des problèmes traités et par l'usage qui sera fait des solutions. En plus des mathématiques pures, les mathématiques appliquées peuvent donc faire appel à l'INGÉNIERIE, à la PHYSIQUE et à d'autres disciplines. Le mathématicien canadien John L. Synge a fait remarquer que la résolution de problèmes concrets par les mathématiques se faisait en trois étapes. La première étape consiste à quitter le monde réel pour plonger dans l'univers des mathématiques, la deuxième à nager dans l'océan de cet univers et la troisième à remonter de l'univers des mathématiques jusque dans le monde réel, une hypothèse entre les dents.

De ces trois étapes, d'autres mathématiciens en ont fait six : reconnaissance, collecte de données, formulation, solution, calcul et communication. Chacune nécessite des habiletés différentes. Bien qu'il n'y ait pas de démarcation nette entre les étapes, elles correspondent chacune à une attitude bien particulière de la part du mathématicien.

Collecte de données

Une fois le problème découvert, certaines données sont nécessaires pour le définir. Ces données peuvent être expérimentales, statistiques ou les deux. La conception expérimentale et l'analyse statistique sont donc d'importants outils pour le mathématicien appliqué.

Historique des mathématiques au Canada

Chaque université canadienne possède un département de mathématiques qui offre au moins un programme d'études dans cette discipline. Il en va sans doute de même dans presque toutes les universités de la planète, ce qui montre bien l'importance des mathématiques dans la société moderne. Les mathématiques deviennent une discipline scientifique de premier plan après la Renaissance, pendant la période que les historiens appellent la Révolution scientifique (1450-1700), quand de brillants astronomes-mathématiciens tels que Copernic et Newton découvrent la vraie nature du système solaire, occupé en son centre par le Soleil autour duquel tournent les planètes. Le rôle des mathématiques dans ces importantes découvertes donne à cette discipline l'importance qu'elle conserve encore aujourd'hui.

Formulation

Quand on a recueilli assez de données pour définir le problème, il faut le formuler avec assez de précision pour qu'on puisse y travailler, c'est-à-dire qu'il faut en faire un modèle mathématique. Ce modèle doit être assez simple pour permettre une analyse complète et suffisamment proche de la réalité pour convenir au problème. Durant la modélisation, il faut supprimer tous les détails non pertinents et tous les détails d'importance mineure, puis se concentrer sur les effets importants. Distinguer ce qui est important de ce qui l'est moins exige un grand savoir-faire et fait probablement de la modélisation la tâche la plus inestimable et la plus difficile du mathématicien appliqué.

Solution

Après la découverte, la collecte de données et la formulation, vient la solution, qui est parfois bien difficile à trouver. Un problème admet habituellement plusieurs formulations et comme la manipulation de l'une d'elles peut être plus facile que celle d'une autre, la complexité des solutions peut varier. Il arrive souvent que les méthodes mathématiques générales dictées par les principes ne soient en réalité pas utiles. C'est particulièrement vrai quand on veut obtenir une réponse numérique juste et d'un degré de précision bien déterminé, à un prix raisonnable en temps comme en travail. La clarté et la simplicité de la plupart des problèmes théoriques ne peuvent pas être garanties dans la réalité, mais la clarté ou l'élégance de la solution trouvée correspond souvent à une réelle compréhension du problème.

Calcul

La plupart des problèmes exigent, non seulement la compréhension, mais aussi une solution numérique réelle. Le calcul des chiffres pertinents peut souvent se faire rapidement et économiquement sans qu'il faille recourir à de coûteux ordinateurs; mais, s'il faut utiliser longtemps ces derniers, il faut que la programmation soit bonne. Les bons mathématiciens réalisent beaucoup d'économies par leur façon de préparer les problèmes qui vont exiger des calculs. Cette préparation touche par exemple les problèmes d'analyse combinatoire complexes (problèmes du type représentant de commerce), le calcul d'intégrales multiples d'ordre élevé et celui des équations différentielles aux dérivées partielles tridimensionnelles qu'il faut résoudre en mécanique élastique, quand on établit les prévisions météorologiques, etc. Aux étapes de la solution et du calcul, il faudra revenir aux trois premières étapes pour s'assurer que le problème en cours de résolution est bien celui qu'on cherche à résoudre et non quelque autre problème connexe, aussi intéressant qu'il soit. Cette vérification peut exiger plusieurs parcours de la boucle de rétroaction.

Communication

Les mathématiciens appliqués doivent rendre leurs découvertes accessibles aux personnes pour lesquelles ils travaillent. Ils doivent donc communiquer leurs travaux dans un style moins dense et plus facile pour les profanes que celui qu'on rencontre dans la plupart des revues mathématiques.

MURRAY KLAMKIN

Époque de la Nouvelle-France

Les mathématiques évoluent en NOUVELLE-FRANCE à l'image de cette importance récemment acquise. Bien qu'il n'y ait aucune nouvelle découverte, la qualité de l'enseignement est pratiquement égale à celle que l'on trouve dans les collèges de France. Les jésuites fondent le Collège de Québec en 1635 et commencent à y enseigner les mathématiques intermédiaires en 1651. Jusqu'en 1760, les élèves apprennent l'arithmétique, les rudiments des équations du second degré ou quadratiques, la trigonométrie, la géométrie et un peu de calcul différentiel et intégral, le tout au cours d'une des deux dernières années du programme de huit ans. Le premier professeur titulaire est Martin Boutet de Saint-Martin. En 1678, Louis XIV le nomme à la nouvelle chaire royale de mathématiques et d'HYDROGRAPHIE de Québec, le roi voulant que les pilotes du fleuve Saint-Laurent, les arpenteurs et les cartographes soient formés dans la colonie. La chaire n'est abolie qu'à la fin du régime français.

Le titulaire le plus célèbre de cette chaire est Louis JOLLIET, le découvreur du Mississippi. À sa mort, la chaire passe officiellement aux jésuites.

Après la conquête de 1759-1760, le Collège de Québec doit fermer ses portes, mais le SÉMINAIRE DE QUÉBEC prend la relève et conserve la même structure de cours classique. Encouragé par l'abbé Jérôme DEMERS, l'enseignement des sciences et des mathématiques fleurit, particulièrement vers 1840. Il tombe bientôt en disgrâce pour des raisons sociologiques et religieuses. Même à l'École polytechnique de Montréal, fondée en 1873, seules les mathématiques intermédiaires sont enseignées jusqu'en 1910. Les francophones du Québec ne reconnaissent la valeur des sciences qu'en 1920. Cette année-là, l'U. Laval de Québec fonde son École supérieure de chimie (qui devient sa faculté de sciences en 1937) et l'U. de Montréal sa faculté de science.

Premiers temps du Canada anglais

Rien d'important n'arrive en mathématiques au Canada anglais avant 1855. Des quelques universités anglophones du Canada, seule l'U. de Toronto offre des programmes avec spécialisations, l'une étant les mathématiques et la philosophie de la nature (autrement dit les sciences physiques). Cependant, chaque université a un professeur titulaire en mathématiques et en philosophie naturelle. Formés en Grande-Bretagne, les quelques professeurs amènent l'idée que la science et la TECHNOLOGIE sont les pivots de la Révolution industrielle.

Un milieu scientifique canadien commence donc à prendre forme et ses membres ressentent presque immédiatement le besoin de communiquer. En 1856, le Canadian Journal of Science, Littérature and History, publié sous l'égide du Royal Canadian Institute, accepte des articles sur les mathématiques et continue à le faire jusqu'en 1912. Le professeur titulaire J. Bradford Cherriman (U. de Toronto) est chargé de la section des mathématiques et de la philosophie de la nature.

L'idée d'études universitaires plus spécialisées naît dans les années 1870. En 1877, l'U. de Toronto lance ses programmes de mathématiques et de PHYSIQUE, qui deviennent des modèles dans le reste du Canada durant la première moitié du XX^e siècle. D'autres universités, par exemple l'U. Queen, l'U. McGill et l'U. Dalhousie, s'engagent graduellement dans la même direction. Durant ce temps, les départements de science sont subdivisés, et en 1890 presque toutes les universités (à l'exception de McGill) ont déjà au moins un professeur titulaire de mathématiques (et non plus « de mathématiques et de philosophie de la nature »). Au même moment, des bourses sont offertes pour des études en mathématiques, deux à l'U. de Toronto et deux à l'U. Dalhousie.

En plus de Cherriman, trois mathématiciens méritent une mention particulière pour l'impulsion qu'ils donnent à l'établissement et au développement de programmes de mathématiques dans leurs universités respectives : James LOUDON de l'U. de Toronto, Alexander Johnson de McGill et Nathan Fellowes de l'U. Queen. En 1890, ils sont tous membres de la SOCIÉTÉ ROYALE DU CANADA. Fondée en 1882, cette société est à l'origine divisée en quatre sections, dont une de mathématique et de philosophie de la nature. La société réserve une place aux publications sur les mathématiques de ses membres dans ses Proceedings and Transactions, offrant par là un nouveau moyen de communication aux mathématiciens. L'American Journal of Mathematics est fondé en1878 à l'U. Johns Hopkins de Baltimore, suivi en 1886 par l'American Mathematical Society qui, depuis 1891, publie son Bulletin et, depuis 1900, ses Transactions. Des mathématiciens canadiens collaborent régulièrement à ces revues.

Début du XX^e siècle

Le nombre de départements de mathématiques augmente durant les deux premières décennies du XX^e siècle, en raison de l'importance croissante des mathématiques dans les domaines professionnels (par exemple l'ingénierie). L'U. de Toronto est la première université nord-américaine à s'immiscer dans le domaine des sciences actuarielles (c'est-à-dire dans le calcul des ASSURANCES, des primes d'assurance et des dividendes). L'Institut canadien des actuaires, qui est une association professionnelle, est fondée en 1907.

En 1915, l'U. de Toronto attribue le premier doctorat canadien en mathématiques à Samuel Beatty, qui deviendra le chef de son département de mathématiques. L'U. de Toronto fait de plus en plus figure de chef de file au Canada et ce, jusqu'à la fin des années 50. Une des figures les plus remarquables du département est sans aucun doute J.C. FIELDS, réputé pour ses travaux sur les fonctions algébriques, qui, avec d'autres, réussit à remettre sur pied les réunions de l'International Congress of Mathematics, qui avaient été suspendues après la Première Guerre mondiale. La première réunion d'après-guerre a lieu à Toronto en 1924.

Fields, qui déplore l'absence de prix Nobel de mathématiques, s'efforce de lancer un prix équivalent. Ses efforts portent fruit en 1932, quelques mois avant sa mort subite. La médaille Fields, ainsi nommée en son honneur, est maintenant universellement reconnue comme le plus grand honneur que peut recevoir un mathématicien. En 1936, l'algébriste et géomètre Harold S.M. Coxeter se joint au département.

Le haut calibre de l'enseignement alors dispensé à Toronto se constate durant les premières années de l'American William Lowell Putnam Mathematics Competition. Seuls les bacheliers peuvent participer à ce concours, et chaque université y envoie une équipe de trois étudiants. La première année, en 1938, l'équipe de l'U. de Toronto remporte la première place, devant toutes les universités nord-américaines. Le règlement du concours empêche l'U. de Toronto de présenter une équipe l'année suivante, mais en 1940, elle gagne de nouveau, puis en1942 et en 1946. Au concours de 1986, les équipes de deux universités canadiennes (l'UNIVERSITÉ DE LA COLOMBIE-BRITANNIQUE et l'UNIVERSITÉ DE WATERLOO) se classent parmi les dix premières (les autres étant Harvard, l'U. Washington de St Louis, l'U. Beckeley de la Californie, Yale, le MIT, le California Institute of Technology, Princeton et Rice).

La fin de la Deuxième Guerre mondiale est un point tournant pour les mathématiques au Canada. Durant la guerre, les mathématiciens canadiens prennent conscience de leur isolement, même dans le pays. Pour se rencontrer, ils doivent participer aux rencontres de l'American Mathematical Society. Ils organisent donc le premier congrès de mathématiques canadien, à Montréal, en juin 1945. Ce rassemblement, qui est un grand succès, mène à la création du Canadian Mathematical Congress qui, en 1978, change son nom en Société mathématique du Canada.

Cette société commence à publier, en 1949, le Canadian Journal of Mathematics, publication réputée à l'échelle internationale, auquel s'ajoute le Canadian Mathematical Bulletin en 1958 et les Canadian Mathematical Congress Notes en 1969. En 1950, toujours sous l'égide du congrès, le professeur titulaire R.L. Jeffery, de l'U. Queen, organise un Summer Research Institute à Kingston qui groupe dix mathématiciens pour diriger conjointement la recherche. Ce type de rencontre s'avère tellement fructueux que quelques universités organisent annuellement des instituts de recherche estivaux.

Fin du XX^e siècle

Les départements de mathématiques se développent rapidement dans les années 50. Toronto perd sa position de chef de file, pas parce que la qualité de son enseignement décline, mais parce que les départements des autres universités canadiennes se sont développés, les élèves ayant une fois de plus dépassé le maître.

Les études de troisième cycle apparaissent partout. Le développement de la STATISTIQUE, de la recherche opérationnelle et de l'INFORMATIQUE accroissent l'intérêt de l'industrie envers les diplômés en mathématiques. Cependant, les prévisions d'importantes augmentations de la population estudiantine dans les années 60 indiquent que la demande de professeurs d'université sera grande. Le lancement du premier spoutnik par l'URSS, en 1957, remet les mathématiques à l'ordre du jour et l'école des mathématiques nouvelles fait son apparition. La même année, le CONSEIL NATIONAL DE RECHERCHES DU CANADA (CNR) commence à accorder des subventions à des chercheurs en mathématiques et deux nouvelles sociétés sont fondées : l'Association canadienne de l'informatique (ACI) et la Société canadienne de recherche opérationnelle.

Le développement prodigieux de l'informatique et les penchants diversifiés des mathématiciens et des informaticiens entraînent plus tard la subdivision du département de mathématiques de presque toutes les universités en département de mathématiques et département d'informatique, l'exemple le plus frappant étant la création, en 1966, de la faculté de mathématiques à l'U. de Waterloo, avec ses cinq départements : mathématiques pures, mathématiques appliquées, combinatoire et optimisation, analyse appliquée et informatique, et enfin statistique.

Les universités francophones du Québec se joignent, vers 1945, au courant principal canadien après avoir vaincu les difficultés engendrées par le manque prolongé de tradition scientifique dans cette province. En 1970, le département de mathématiques de l'U. de Montréal a déjà acquis une réputation internationale sous la direction de Maurice L'Abbé et a fondé un centre de recherches en mathématiques, qui jouit d'une excellente réputation à l'échelle internationale.

Le début des années 70 est un âge d'or pour les mathématiciens au Canada. En 1961, les universités canadiennes décernent 11 doctorats en mathématiques; ce nombre passe à 94 en 1973. En 1960-1961, le CNR accorde des subventions de recherche en mathématiques d'un montant de 87 500 $. Cette somme passe à 2 461 500 $ en 1972-1973, puis à 8 419 000 $ en 1986-1987.

L'Association canadienne de sciences statistiques, qui deviendra la Société statistique du Canada, est fondée en 1971; elle publie le Canadian Journal of Statistics. La Société canadienne d'histoire et philosophie des sciences commence ses activités en 1973. Une autre association, la Société canadienne de mathématiques appliquées (SCMA) naît en 1980. Elle publie les Applied Mathematics Notes et commandite le Canadian Applied Mathematics Quarterly fondé en 1992.

En 1991, un groupe d'universités ontariennes parraine un deuxième centre de recherches, le Fields Institute for Research in Mathematical Sciences. Initialement à Waterloo, il est maintenant installé sur le campus de l'U. de Toronto.

Le nombre actuel de membres du milieu canadien des mathématiques est de 2400. La Société mathématique du Canada, qui a célébré son 50^e anniversaire en 1995, comptait 1209 membres à titre particulier et 39 à titre d'organismes en 1994. Selon une enquête fondée sur les articles critiqués dans les Mathematical Reviews internationales, l'influence du Canada sur les mathématiques internationales est maintenant beaucoup plus grande que sa population n'aurait pu le laisser prévoir (73 articles de recherches en mathématiques par an et par million d'habitants en 1990. Les États-Unis et les Pays-Bas suivent avec 47 articles de recherches en mathématiques par an et par million d'habitants).

En 1961, il y a environ 250 professeurs de mathématiques (y compris les professeurs assistants) dans les universités canadiennes; en 1973, il y en a environ 1 300.

Mathématiciens canadiens

Le milieu canadien des mathématiques, comme les autres groupes scientifiques, est touché par le départ des diplômés prometteurs pour les États-Unis, qui témoigne d'ailleurs de l'excellence de la formation dispensée dans les départements canadiens. Parmi les mathématiciens de réputation internationale formés initialement au Canada, citons Cathleen Morawetz (U. de Toronto), Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; Robert Langlands (U. de la Colombie-Britannique), Institute for Advanced Study, Princeton; Israel Herstein (U. du Manitoba), U. de Chicago; Irving Kaplansky (U. de Toronto), U. de Chicago; Louis Nirenberg (McGill), U. de New York; G.F. Duff (U. de Toronto), professeur émérite, U. de Toronto; Leo Moser (U. du Manitoba), U. de l'Alberta (décédé en 1970); W.O. Moser (U. du Manitoba), McGill; Raoul Bott (McGill), Harvard.

Les mathématiciens canadiens doivent relever bon nombre de défis. Des liens semblent exister entre les départements universitaires, l'industrie et le gouvernement en statistique et en informatique, où l'avenir semble prometteur. Mais d'autres branches des mathématiques semblent plus sensibles aux conditions économiques difficiles.

LOUIS CHARBONNEAU

Auteurs ayant contribué à cet article:

Reconnaissance du problème

Dans l'industrie, c'est habituellement un ingénieur, un scientifique ou un administrateur qui s'occupe de l'application pratique d'une technologie qui constate la nécessité d'une amélioration ou un mauvais fonctionnement.