Mathématiques appliquées

Mathématiques appliquées

Le mathématicien John L. Synge fait remarquer un jour que l’application des mathématiques à un problème du monde réel se fait en trois étapes. La première étape consiste à quitter le monde réel pour plonger dans l’univers des mathématiques. La deuxième est de nager dans l’océan des mathématiques. La troisième étape consiste à remonter du monde des mathématiques vers le monde de la réalité, et chose très importante, avec une prédiction entre les dents.

D’autres mathématiciens amplifient ces trois étapes pour en faire six : reconnaissance, collecte de données, formulation, solution, calcul et communication. Chaque étape requiert des compétences différentes. Bien qu’il n’y ait pas de frontières nettes entre les étapes, elles placent le mathématicien appliqué dans différentes attitudes.

Reconnaissance

Dans l’industrie, la prise de conscience qu’un problème existe vient généralement d’un ingénieur, d’un scientifique ou d’un administrateur qui participe aux applications pratiques d’une technologie et qui se trouve en mesure de reconnaitre que quelque chose doit être amélioré ou que quelque chose ne va pas.

Collecte de données

Une fois le problème identifié, certaines données sont nécessaires pour le définir. Ces données peuvent être expérimentales, statistiques, ou les deux. Par conséquent, la conception expérimentale et l’analyse statistique sont d’importants outils pour le mathématicien appliqué.

Formulation

Lorsque suffisamment de données sont recueillies pour définir le problème, il faut le formuler avec assez de précision pour pouvoir y travailler, c’est-à-dire qu’il faut établir un modèle mathématique de la situation. Ce modèle doit être assez simple pour permettre une analyse complète, mais également suffisamment proche de la réalité pour être pertinent par rapport au réel problème considéré. Au cours de ce processus, tous les détails non pertinents et tous les détails d’importance mineure doivent être supprimés. Cette focalisation permet de se concentrer sur les effets importants. Le fait de pouvoir distinguer ce qui est d’importance majeure et ce qui est d’importance mineure exige un considérable savoir-faire et fait de la construction de modèles la tâche qui est probablement la plus précieuse et la plus difficile du mathématicien appliqué.

Solution

Après la reconnaissance, la collecte de données et la formulation vient la solution, qui peut parfois être bien difficile à trouver. Différentes formulations d’un problème sont généralement possibles et comme une formulation peut être plus facile à traiter que d’autres, les solutions peuvent varier en complexité. Il arrive souvent que les méthodes mathématiques générales qui sont applicables en principe ne soient pas réellement utiles. Cette situation est particulièrement vraie lorsqu’une réponse numérique, correcte à un degré de précision donné et à un coût raisonnable en temps comme en travail, est requise. La clarté et la simplicité de la plupart des problèmes posés dans les manuels ne peuvent pas être garanties dans le monde réel; toutefois, la clarté ou l’élégance d’une solution s’accompagne souvent d’une réelle compréhension du problème.

Calcul

La plupart des problèmes exigent non seulement la compréhension, mais également une solution numérique réelle. Le calcul des chiffres pertinents peut souvent se faire rapidement et économiquement sans avoir recours à de coûteux ordinateurs; toutefois, si un temps d’ordinateur important est nécessaire, il est important que la programmation soit efficace. (Voir aussi Informatique.) Les bons mathématiciens peuvent réaliser de considérables économies grâce à la manière dont ils préparent les problèmes pour les calculs. De tels problèmes se posent dans les problèmes combinatoires à haute dimension (problèmes du type voyageur de commerce), le calcul d’intégrales multiples de haute dimension et les équations différentielles aux dérivées partielles à trois dimensions impliquées dans les calculs d’élasticité, les prévisions météorologiques, etc. Aux étapes de la solution et du calcul, il fait faire un retour d’information sur les trois premières étapes pour s’assurer que le problème en cours de résolution est bien celui qu’on cherche à résoudre et non un autre problème connexe, aussi intéressant qu’il soit. Cette vérification peut exiger plusieurs parcours de la boucle de rétroaction.

Communication

Les mathématiciens appliqués doivent rendre leurs découvertes accessibles aux personnes pour lesquelles ils travaillent, et ils doivent communiquer leurs travaux dans un style moins dense et plus facile à lire pour un non-spécialiste que ce qu’on trouve dans la plupart des revues mathématiques.